Netleksikon - Et online leksikon | Netleksikon er ikke blevet opdateret siden 2005. Nogle artikler kan derfor indeholde informationer der ikke er aktuelle. |
Forside | Om Netleksikon |
Schwarzschild metrikEt af de simpleste problemer der kan løses i den generelle relativitetsteori er det centralsymmetriske problem. Et sfærisk legeme må nødvendigvis give anledning til et sfærisk tyngdefelt. Man kan desuden vise at der findes statiske (dvs. tids-uafhængige) løsninger. Det vil derfor være rimeligt at lede efter et linjelement på formen:
Da løsningen er sfærisk symmetrisk og statisk kan og kun afhænge af . Desuden indeholder linjeelementet ingen krydsled så metriktensoren bliver diagonal. Fra metriktensoren findes Chistoffel symbolerne fra formlen:
Herfra findes:
Mærker angiver differentiation mht. r og alle andre Christoffelsymboler end de viste er nul. Fra Christoffelseymbolerne kan Riemann tensoren findes fra formlen:
Herfra findes Ricci tensoren ved kontraktion af index vha. metriktensoren der kendes fra $(1)$:
Udregningen er relativt ligefrem, men ret pladskrævende så vi nøjes med resultatet. Da vi kun vil interessere os for området uden for det sfæriske legeme skal vi løse Einsteins ligninger i vakuum dvs $R_{ab}=0$:
Herfra skal vi nu finde $A$ og $B$. Dette kan gøres ved at danne en passende linearkombination af $R_{tt}$ og $R_{rr}$:
I grænsen $r\\to\\infty$ forventer vi at genfinde det flade Minkowski rum med linjeelement Sammenlignes med $(1)$ må der i denne grænse gælde $A=B=1$ dvs. vi har generelt:
$(7)$ simplificerer nu betydeligt og vi får:
R er en integrationskonstant med dimension af længde. Fra $(8)$ er nu:
Nu er vi næsten færdige. Når $(8)$ og $(9)$ indsættes i $(1)$ får vi Schwarzschild linjeelementet:
Vi mangler blot at bestemme integrationskonstanten R. Igen udnytter vi at Schwarzschild løsningen skal reducere til Minkowski rummet for $r\\to\\infty$. Her er $g_{00}=1+2\\phi=1-2\\frac{GM}{r}$. Sammenlignes med $(11)$ får vi $R=2GM$, hvor M er massen af legemet og G er Newtons gravitationskonstant. Vi regner med enheder hvor $c=1$ så for at give R dimension af en længde må vi have i ikke-relativistiske enheder:
R kaldes også Schwarzschild radius og angiver begivenhedshorisonten for et sort hul. Dvs. ved $r=R$ bliver tyngdekraften så stærk at end ikke lys kan undslippe.
|
|
Denne artikel er fra Wikipedia. Denne hjemmeside tager ikke resourcer fra Wikipedias hardware. Netleksikon.dk støtter Wikipedia projektet finansielt. Indholdet er udgivet under GNU Free Documentation License. Kontakt Netleksikon, hvis ophavsretten er krænket. Antal besøgende: |