Schwarzschild metrik

Da løsningen er sfærisk symmetrisk og statisk kan og kun afhænge af . Desuden indeholder linjeelementet ingen krydsled så metriktensoren bliver diagonal. Fra metriktensoren findes Chistoffel symbolerne fra formlen:

Herfra findes:

Mærker angiver differentiation mht. r og alle andre Christoffelsymboler end de viste er nul. Fra Christoffelseymbolerne kan Riemann tensoren findes fra formlen:

Herfra findes Ricci tensoren ved kontraktion af index vha. metriktensoren der kendes fra $(1)$:

Udregningen er relativt ligefrem, men ret pladskrævende så vi nøjes med resultatet. Da vi kun vil interessere os for området uden for det sfæriske legeme skal vi løse Einsteins ligninger i vakuum dvs $R_{ab}=0$:

Herfra skal vi nu finde $A$ og $B$. Dette kan gøres ved at danne en passende linearkombination af $R_{tt}$ og $R_{rr}$:

I grænsen $r\\to\\infty$ forventer vi at genfinde det flade Minkowski rum med linjeelement

Sammenlignes med $(1)$ må der i denne grænse gælde $A=B=1$ dvs. vi har generelt:

$(7)$ simplificerer nu betydeligt og vi får:

R er en integrationskonstant med dimension af længde. Fra $(8)$ er nu:

Nu er vi næsten færdige. Når $(8)$ og $(9)$ indsættes i $(1)$ får vi Schwarzschild linjeelementet:

Vi mangler blot at bestemme integrationskonstanten R. Igen udnytter vi at Schwarzschild løsningen skal reducere til Minkowski rummet for $r\\to\\infty$. Her er $g_{00}=1+2\\phi=1-2\\frac{GM}{r}$. Sammenlignes med $(11)$ får vi $R=2GM$, hvor M er massen af legemet og G er Newtons gravitationskonstant. Vi regner med enheder hvor $c=1$ så for at give R dimension af en længde må vi have i ikke-relativistiske enheder:

R kaldes også Schwarzschild radius og angiver begivenhedshorisonten for et sort hul. Dvs. ved $r=R$ bliver tyngdekraften så stærk at end ikke lys kan undslippe.

Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.