Metrik

• Verslære.

• Længdemål på en mangfoldighed, anvendes i generel relativitetsteori.

Bemærk at dette giver kvadratet på den infinitesimale afstand, (ds)², hvilket normalt skrives ds². Ovenstående udtryk kaldes også for linjeelementet, og kaldes også for den metriske form eller første fundamental form. Kvadratet på længden, eller normenen, af en kontra-variant vektor X^a er derfineret som

En metrik siges at være enten positiv eller negativ hvis der for alle vektorer, X, gælder hhv. enten at X² > 0 eller X² < 0. Hvis der både findes vektorer der har postiv og negativ norm kaldes metriken for ubestemt.

Vinklen mellem to vektorer og , med og er givet ved:

Specielt siges to vektorer at være ortogonale hvis .

Hvis metriken er ubestemt (som tilfældet er i relativitetsteori), så eksisterer der vektorer der er ortogonale på sig selv. altså vektorer for hvilket der gælder at , sådanne vektorer kaldes nul-vektorer.

Determinanten af metriken skrives som .

Metriken er ikke-singulær hvis , hvis dette er tilfældet, så er den inverse til , , givet ved

Det følger fra definitionen at er en kontra-variant vektor af dimension 2 og den kaldes for den kontra-variante metrik. Vi kan nu bruge og til at hæve og sænke indicies ved at definere,

og

Vi betragter fremover g, og som repræsentanter for det samme geometriske objekt, metriken g. Siden vi nu frit kan hæve og sænke indicies med metriken, er det vigtigt at være forsigtig med hvile vektorer der er co-variante og hvilke der er kontra-variante. For eksempel vil generelt være forskellig fra

Se også

• Matematik

Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.