Netleksikon - Et online leksikon Netleksikon er ikke blevet opdateret siden 2005. Nogle artikler kan derfor indeholde informationer der ikke er aktuelle.
Forside | Om Netleksikon

Funktion (matematik)

Table of contents
1 Funktioner kort fortalt
2 Forskrift
3 Definitions- og værdimængde
4 Monotoni
5 Invers funktion

Funktioner kort fortalt

Indenfor matematikken er en funktion et redskab der beskriver hvordan en såkaldt afhængig variabel størrelse varierer som en konsekvens af ændringer i en anden, såkaldt uafhængig variabel. Kalder man den uafhængige variabel for x og den afhængige for y, skrives en funktion helt kort som
y = f(x)
Denne notation blev første gang brugt af matematikeren
Leonhard Euler. Bogstavet f skal blot betragtes som et »navn«, ligesom x er et »navn« der dækker over et tal. Et grundlæggende træk ved funktioner er, at der til en bestemt værdi af x hører én og kun én værdi af y.

Man kan tænke sig en funktion som en art maskine, der som »råmateriale« tager imod et tal (den uafhægige variabel), og til gengæld afleverer et andet tal (den afhængige variabel). Har man én gang konstateret at maskinen afleverer et 5-tal hvis man fodrer den med et 2-tal, kan man være sikker på at få »5« ud hver eneste gang man putter »2« ind i den.

Forskrift

Den nøjere sammenhæng mellem den uafhængige og afhængige variabel kan være givet ved et regneudtryk der beregner hvad den afhængige variabel bliver for en given værdi af den uafhængige. I ovenstående analogi kan man samnenligne denne forskrift med den »indmad" i maskinen, som sørger for at danne det tal der kommer ud af maskinen. Forskriften i eksemplet med maskinen kunne f.eks. se sådan her ud:
f(x) = 2·x + 1

Definitions- og værdimængde

I forbindelse med en given funktion f findes der to mængder med særlig relevans: Definitionsmængden til f, der skrives som Dm(f), og værdimængden til f, der skrives som Vm(f).

Definitionsmængden er populært sagt mængden af tal som den uafhængige variabel x må være lig med. I forbindelse med føromtalte maskine kan man forestille sig definitionsmængden som en kasse indeholdende alle de tal som maskinen kan behandle. Stiller man en tom kasse op der hvor maskinen spytter tal ud, og sender alle tallene i definitionsmængde-kassen igennem, ender den nye kasse med at indeholde alle de værdier som den afhængige variabel kan antage: Mængden af disse tal kaldes for værdimængden til funktionen f.

Med en forskrift som f(x) = 2·x + 1 er der intet til hindring for at bruge ethvert reelt tal som den uafhængige variabel, så definitionsmængden til denne funktion er lig med mængden af reelle tal .
I andre situationer lader funktionens foreskrift sig kun beregne for visse værdier af x, f.eks.:
g(x) = ln x - 1
Eftersom ln x (den naturlige logaritme til x; i sig selv en funktion) kun er defineret for positive x, kan regneudtrykket kun beregnes for sådanne værdier, og definitionsmængden til g bliver da ; mængden af positive reelle tal.
Hvis funktionen bruges som model af praktiske forhold, kan sammenhængen tilsige andre begrænsninger i definitionsmængden. Hvis f(x) eksempelvis beskriver hvor mange 6'ere man får ved x kast med en terning, må x næsten nødvendigvis være et positivt heltal (eller: i det mindste ikke-negativt), eftersom et »halvt terningekast« ikke giver megen mening i denne sammenhæng.

Monotoni

Visse funktioner, som eksemplet med f(x) = 2·x + 1, har den egenskab, at hvis den uafhængige variabel x stiger en lille smule, vil det afhængige y også stige: Sådan en funktion siges at være monotont voksende - monotont eftersom den aldrig »gør andet« end at stige, uanset hvilken værdi af x man går ud fra.
Med andre funktioner, f.eks. y = g(x) = 1/x vil y konsekvent falde hvis man forøger x en kende: Sådanne funktioner omtaler matematikerne tilsvarende som monotont aftagende. Atter andre funktioner, som f.eks.
sinus og cosinus er voksende indenfor bestemte intervaller for x, og aftagende når x falder imellem disse intervaller.
Oplysninger om i hvilke intervaller en given funktion er hhv. voksende og aftagende kaldes almindeligvis for funktionens monotoniforhold.

Invers funktion

Hvis en funktion f(x) enten har samme monotoni (enten voksende eller aftagende) i hele sin definitionsmængde, findes der en såkaldt invers funktion til den pågældende funktion, som skrives f-1(x): Denne inverse funktion kan tage imod et tal der er beregnet med f(x), og så at sige "regne baglæns" for at finde tilbage til x: Hvis f(3) = 12, så vil f-1(12) være lig med 3.
Heraf ses, at det der er definitionsmængden til f, bliver værdimængden til f-1, mens værdimængden af f er f-1's definitionsmængde. Altså:
Dm(f) = Vm(f-1), og Vm(f) = Dm(f-1).

Hvis en funktion ikke har samme monotoni i hele sin definitionsmængde, f.eks. sinus, kan man i "streng" matematisk forstand ikke uden videre indføre dens inverse funktion, fordi én værdi af x vil kunne give mere end én funktionsværdi. Men da det er praktisk at kunne "regne baglæns" og finde det x der giver en vis værdi af sin(x), har man alligevel indført den inverse funktion sin-1(x). Hvis man afgrænser definitionsmængden til sinus-funktionen til intervallet indenfor ±90° eller ±π/2 radianer, er sinus monotont voksende, og for sinus i dette interval kan man således tale om en invers funktion.



Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.





Bolig.com
Boligsite med dagligt opdaterede boligannoncer med lejeboliger og andelsboliger.
Andelsbolig i København
Lejebolig i København
Selvsalg
Realkreditlån
Boligadvokat
Rejseforsikringer
Husk at kontrollere din rejseforsikring inden du tager ud at rejse. Læs mere på: Rejseforsikring
Bilforsikringer
Sammenlign bilforsikringer og find information om forsikringer til din bil på: Bilforsikring


Denne artikel er fra Wikipedia. Denne hjemmeside tager ikke resourcer fra Wikipedias hardware. Netleksikon.dk støtter Wikipedia projektet finansielt. Indholdet er udgivet under GNU Free Documentation License. Kontakt Netleksikon, hvis ophavsretten er krænket.

Antal besøgende: