Definitions- og værdimængde
I forbindelse med en given funktion f findes der to mængder med særlig relevans: Definitionsmængden til f, der skrives som Dm(f), og værdimængden til f, der skrives som Vm(f).
Definitionsmængden er populært sagt mængden af tal som den uafhængige variabel x må være lig med. I forbindelse med føromtalte maskine kan man forestille sig definitionsmængden som en kasse indeholdende alle de tal som maskinen kan behandle. Stiller man en tom kasse op der hvor maskinen spytter tal ud, og sender alle tallene i definitionsmængde-kassen igennem, ender den nye kasse med at indeholde alle de værdier som den afhængige variabel kan antage: Mængden af disse tal kaldes for værdimængden til funktionen f.
Med en forskrift som f(x) = 2·x + 1 er der intet til hindring for at bruge ethvert reelt tal som den uafhængige variabel, så definitionsmængden til denne funktion er lig med mængden af reelle tal .
I andre situationer lader funktionens foreskrift sig kun beregne for visse værdier af x, f.eks.:
g(x) = ln x - 1
Eftersom ln x (den naturlige logaritme til x; i sig selv en funktion) kun er defineret for positive x, kan regneudtrykket kun beregnes for sådanne værdier, og definitionsmængden til g bliver da ; mængden af positive reelle tal.
Hvis funktionen bruges som model af praktiske forhold, kan sammenhængen tilsige andre begrænsninger i definitionsmængden. Hvis f(x) eksempelvis beskriver hvor mange 6'ere man får ved x kast med en terning, må x næsten nødvendigvis være et positivt heltal (eller: i det mindste ikke-negativt), eftersom et »halvt terningekast« ikke giver megen mening i denne sammenhæng.
Monotoni
Visse funktioner, som eksemplet med f(x) = 2·x + 1, har den egenskab, at hvis den uafhængige variabel x stiger en lille smule, vil det afhængige y også stige: Sådan en funktion siges at være monotont voksende - monotont eftersom den aldrig »gør andet« end at stige, uanset hvilken værdi af x man går ud fra.
Med andre funktioner, f.eks. y = g(x) = 1/x vil y konsekvent falde hvis man forøger x en kende: Sådanne funktioner omtaler matematikerne tilsvarende som monotont aftagende. Atter andre funktioner, som f.eks. sinus og cosinus er voksende indenfor bestemte intervaller for x, og aftagende når x falder imellem disse intervaller.
Oplysninger om i hvilke intervaller en given funktion er hhv. voksende og aftagende kaldes almindeligvis for funktionens monotoniforhold.
Invers funktion
Hvis en funktion f(x) enten har samme monotoni (enten voksende eller aftagende) i hele sin definitionsmængde, findes der en såkaldt invers funktion til den pågældende funktion, som skrives f-1(x): Denne inverse funktion kan tage imod et tal der er beregnet med f(x), og så at sige "regne baglæns" for at finde tilbage til x: Hvis f(3) = 12, så vil f-1(12) være lig med 3.
Heraf ses, at det der er definitionsmængden til f, bliver værdimængden til f-1, mens værdimængden af f er f-1's definitionsmængde. Altså:
Dm(f) = Vm(f-1), og Vm(f) = Dm(f-1).
Hvis en funktion ikke har samme monotoni i hele sin definitionsmængde, f.eks. sinus, kan man i "streng" matematisk forstand ikke uden videre indføre dens inverse funktion, fordi én værdi af x vil kunne give mere end én funktionsværdi. Men da det er praktisk at kunne "regne baglæns" og finde det x der giver en vis værdi af sin(x), har man alligevel indført den inverse funktion sin-1(x). Hvis man afgrænser definitionsmængden til sinus-funktionen til intervallet indenfor ±90° eller ±π/2 radianer, er sinus monotont voksende, og for sinus i dette interval kan man således tale om en invers funktion.
Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.
