|
|
Eksponentiel udvikling
Eksponentiel udvikling kort fortalt
En eksponentiel udvikling er en slags matematisk model, som kan bruges til beskrive forskellige sammenhænge; typisk hvordan bestemte ting forandrer sig med tiden: Specielt for eksponentielle udviklinger gælder, at målt hen over lige store tidsintervaller stiger eller falder den (tids-)afhængige variabel med lige store forholdstal.
Her er nogle eksempler på fænomener der følger (eller kan følge) en eksponentiel udvikling:
- "Renters rente" er et klassisk eksempel på en eksponentiel udvikling: Placerer man én gang for alle nogle penge et sted hvor man kan forvente en konstant rente, vil saldoen som følge af renterne være eksponentielt voksende.
- Hvis fødselsraten i en befolkning ligger højere eller lavere end hvad der er nødvendigt for at opretholde et konstant befolkningstal, vil befolkningstallet (til at begynde med) følge en eksponentielt voksende eller aftagende udvikling.
- Strålingen fra en prøve af et radioaktivt stof (som henfalder til en stabil isotop) vil aftage eksponentielt over tid. Hvor hurtigt strålingen aftager, beskrives ofte ved den såkaldte halveringstid.
- Temperaturforskellen mellem f.eks. en varm småkage og den konstante stuetemperatur omkring den aftager eksponentielt med tiden.
- Udskillelsen af lægemidler følger ofte en eksponentialfunktion, således at man også her taler om halveringstid. Se farmakokinetik.
Matematikken i en eksponentiel udvikling
Matematisk set beskrives den eksponentielle udvikling således:
y = b · ax
hvor
- x er den uafhængige variabel (som regel målt i tid).
- y er den afhængige variabel.
- a er det forholdstal som y ændrer sig med, når x stiger eller falder med 1: Hvis a < 1 er y eksponentielt aftagende, hvis a > 1 er den eksponentielt voksende, og hvis a = 1 er y konstant.
- b er den størrelse y har når x er lig med nul.
En eksponentiel udvikling kan beskrives ved de to tal a og b: Givet disse tal kan man med ovenstående regneudtryk svare på spørgsmål om hvor stor den undersøgte størrelse y var eller vil være til et givent tidspunkt x. Med lidt omregning kan man tilsvarende bestemme hvornår y når eller nåede en bestemt værdi.
Givet to sammenhørende par af x og y (f.eks. oplysninger om et eksponentielt voksende indbyggertal to givne, forskellige år) kan man bestemme værdierne af a og b, og derefter bruge formlen til at fremsætte prognoser som beskrevet ovenfor.
Størrelsen af a er somme tider givet indirekte i form af et (for voksende eksponentielle udviklinger) fordoblings- eller (for aftagende udviklinger) halveringstal (eller -konstant): Dette er et udtryk for hvor stor ændring i den uafhængige variabel x der "skal til" for at få fordoblet hhv. halveret den afhængige variabel y.
Hvis fordoblingstallet eller fordoblingstiden kaldes for T, gælder:
Udtrykt ved halveringstallet eller halveringstiden t gælder:
Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.
|
|