|
|
Differentialkvotient
Diffenretialkvotienter kort fortalt
En differentialkvotient er den funktionsforskrift, der fremkommer ved at differentiere en funktion. Hvis den oprindelige funktion hedder , benævnes dens differentialkvotient normalt (udtales "f mærke"): Denne nye funktion, også kaldet den afledte funktion, fortæller hvor stejlt værdien af vokser eller aftager ved en vilkårlig værdi af indenfor definitionsmængden for .
Grafer, tangenter og hældningstal
På illustrationen til højre ses øverst grafen for en funktion (blå kurve): I forskellige punkter langs grafen (grønne pletter) er der indtegnet tangenter til grafen (de røde linjestykker). Hældningstallet for en tangent til grafen for , tegnet i det punkt der svarer til en bestemt værdi af , er lig med .
Den orange kurve nederst på illustrationen er grafen for differentialkvotienten til funktionen : Bemærk, at når er aftagende, er negativ, og de steder hvor er voksende, er positiv. De steder hvor tangenterne til grafen for er vandrette, bliver lig med nul.
Anvendelse i funktionsanalyse
Ved at finde forskriften for , sætte denne lig med nul og løse den ligning der derved fremkommer, kan man finde de værdier af hvor grafen for "vender om", dvs. skifter fra at være voksende til at være aftagende eller omvendt. Dog skal man være opmærksom på at f.eks. kan være stigende indtil et vist punkt hvor differentialkvotienten er lig med nul, for derefter at stige igen. Dette kaldes et saddelpunkt, og kan "afsløres" ved at undersøge om skifter fortegn fra den ene side af det fundne til den anden.
Alle de værdier af hvor er lig med nul, og som ikke er saddelpunkter, markerer et såkaldt ekstremum; her antager den højeste eller laveste værdi, enten for hele funktionens definitionsmængde (såkaldt globalt maksimum eller minimum), eller indenfor et vist område omkring det fundne (lokalt maksimum eller minimum). Dette benyttes ved funktionsanalyse til at bestemme værdimængden for en given funktion.
Definition
Har man forskriften for en funktion, kan man beregne et tal der er approksimativt lig med funktionens differentialkvotient for et givent ved at vælge to værdier og der ligge hhv. en anelse hhv. under og over det ønskede , og bestemme hældningstallet for den rette linie der går igennem punkterne og . Jo tættere og ligger på det søgte , desto tættere kommer dette hældningstal på den eksakte værdi af .
Differentialkvotienten er lig med grænseværdien af dette hældningstal, når og nærmer sig .
Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.
|
|