Netleksikon - Et online leksikon Netleksikon er ikke blevet opdateret siden 2005. Nogle artikler kan derfor indeholde informationer der ikke er aktuelle.
Forside | Om Netleksikon

Tredjegradsligning

En tredjegradsligning er en polynomiumsligning i hvilket den højeste eksisterende potens af den ubekendte x er den tredje potens. En eksempel er ligningen
2x3 - 4x2 + 3x - 4 = 0
og den generelle form kan skrives som
a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0
hvor vi antager, at koefficienterne a0,...,a3 er reelle tal med a3 forskelligt fra nul.

At løse en tredjegradsligning svarer til at finde rødderne af et tredjegradspolynomium. Hvert tredjegradspolynomium har mindst én løsning x blandt de reelle tal. Følgende kvalitetsmæssigt forskellige tilfælde er mulige:

  • Tre forskellige reelle løsninger
  • To reelle løsninger, en som er dobbeltløsning
  • En enkelt reel løsning, som er en trippelløsning
  • En enkelt reel løsning og et par af kompleks konjugerede løsninger som er komplekse tal
Diskriminanten kan bruges til hurtigt at afgøre, om ligningen har flere løsninger.

Løsningerne kan findes med følgende metode af Tartaglia og trykt af Gerolamo Cardano i 1545.

Først dividerer vi den givne ligning med a3 og får en ligning med formen

x3 + ax2 + bx + c = 0
Substitutionen x = t - a/3 fjerner andengradsleddet, og vi får en tredjegradsligning af formen
t3 + pt + q = 0.         (1)
For at løse denne ligning, find to tal u og v sådan at
u3 - v3 =  q
    uv    =  p/3
En løsning af vores ligning er så givet af
t = v - u
som kan kontrolleres ved direkte indsættelse af denne værdi for t i (1).

Ovenstående system for u og v kan altid løses: løs den anden ligning for v, sæt ind i den første ligning, løs den resulterende andengradsligning for u3, derefter tage kubikroden for at finde u. I nogle tilfælde vil andengradsligningen give komplekse løsninger, selv da mindst én sådan løsning t af (1) vil være reel. Det var allerede bemærket af Cardano og er et stærkt argument for nytten (hvis ikke eksistensen) af komplekse tal.

Når værdierne for t er kendt, kan substitutionen x = t - a/3 afvikles for at finde værdierne af x, som løser den oprindelige ligning.

Så, hvis vi har en ligning

vi sætter
og
og har
Sådan at u3 - v3 = q, og uv = p/3, vi finder
og
og da x + b/3 = v - u så er

Hvis kvadratroden er af et negativt tal, så vil kubikroden være af et komplekst tal. En måde at tage kubikrodden af et komplekst tal er at oversætte det komplekse tal til polære koordinater med vinklen 0 langs den positive reelle akse, dividere vinklen med 3, og tage kubikroden af modulus. Der er måske en nemmere måde.

Bemærk at ved finding af u, var der 6 muligheder, da der er to løsninger til kvadratrodden og tre komplekse løsninger til kubikrodden. Men, den løsning man vælger til kvadratroden påvirker ikke den endelige resulterende x.

Eksempel ville være rart

Se også



Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.





Bolig.com
Boligsite med dagligt opdaterede boligannoncer med lejeboliger og andelsboliger.
Andelsbolig i København
Lejebolig i København
Selvsalg
Realkreditlån
Boligadvokat
Rejseforsikringer
Husk at kontrollere din rejseforsikring inden du tager ud at rejse. Læs mere på: Rejseforsikring
Bilforsikringer
Sammenlign bilforsikringer og find information om forsikringer til din bil på: Bilforsikring


Denne artikel er fra Wikipedia. Denne hjemmeside tager ikke resourcer fra Wikipedias hardware. Netleksikon.dk støtter Wikipedia projektet finansielt. Indholdet er udgivet under GNU Free Documentation License. Kontakt Netleksikon, hvis ophavsretten er krænket.

Antal besøgende: