Netleksikon - Et online leksikon Netleksikon er ikke blevet opdateret siden 2005. Nogle artikler kan derfor indeholde informationer der ikke er aktuelle.
Forside | Om Netleksikon

Regneregler for ligninger

Der findes en række regneregler for ligninger, som beskriver de regneoperationer man kan lave på en ligning for at isolere en bestemt størrelse (som regel symboliseret ved bogstavet x). Generelt gælder, at man "har lov" til at foretage en lang række forskellige regneoperationer på en ligning, så længe man konsekvent gør det samme på begge sider af lighedstegnet.

Table of contents
1 De fire regnearter
2 Matematiske funktioner

De fire regnearter

Man kan addere ("plus"), subtrahere ("minus"), multiplicere ("gange") og dividere med det samme (frit valgte) tal på begge sider af lighedstegnet. Tallet nul er lidt af en undtagelse: Man må ikke multiplicere eller dividere med nul, og det giver ikke megen mening at lægge 0 til eller trække 0 fra på begge sider.

Følgende eksempel demonstrerer brugen af denne regel på ligningen


For at isolere den ubekendte størrelse (her x) skal alt hvad der "har med x at gøre" samles på den ene side af lighedstegnet. Det klares i dette eksempel ved at trække x fra på begge sider:

På venstre side var der i forvejen 2 · x, hvorefter der blev lagt "endnu en" x til, så alt inklusive bliver den "nye" venstre side til 3 · x - 4. På højre side stod et enkelt x, som nu "ophæves" af det x der netop er trukket fra, så efter denne operation ser ligningen således ud:

Tilsvarende kan man flytte de -4 på venstre side over på den højre (dvs. "væk" fra siden med x) ved at lægge 4 til på begge sider. Så haves, at:

På venstre side "ophæver" -4 og +4 hinanden (billedlig talt: Fire skridt fremad og fire tilbage fører tilbage til udgangspunktet), mens man på højre side erstatter det lille regnestykke med svaret, dvs. 12. Så står der:

For at "slippe af" med 2-tallet på venstre side (så x bliver isoleret, dvs. står alene, på venstre side af ligningen) kan man nu dividere med 2 på begge sider af lighedstegnet, hvorved ligningen ser sådan ud:

Brøken på venstre side kan forkortes med 2, dvs. de to 2-taller (og med dem brøkstregen!) "forsvinder". På højre side er der kun "almindelige", bekendte tal; brøken her er lig med 6. Nu kan ligningen opskrives som:

Ved at vælge det rigtige tal og den rigtige regneoperation, kan man med reglen om at bruge de fire regnearter på ligninger flytte tal, bekendte såvel som ubekendte, mellem de to sider, og fjerne koefficienter til den/de ubekendte.

Matematiske funktioner

Man kan, med visse begrænsinger, anvende forskellige matematiske funktioner på begge sider af lighedstegnet. Betingelsen er at funktionen er injektiv, dvs. at for funktionen f og 2 tal x og y som f er defineret for, skal det gælde at hvis f(x) = f(y) så er x = y. For eksempel må man generelt ikke kvadrere siderne i en ligning fordi kvadratfunktionen ikke er injektiv idet x2 = (-x)2. Men hvis man kan vise eller forudsætte at begge sider af ligningen er positive eller at begge sider er negative, er det tilladt at kvadrere da man i så fald har begrænset brugen af kvadratfuntionen til et område hvor den er injektiv. Drejer det sig om en forudsætning, skal man efterfølgende sikre sig at den holder for de fundne løsninger.

Visse funktioner er ikke defineret for alle tal (f.eks. kan man ikke tage logaritmen til andet end positive tal), så hvis man bruger en sådan funktion af lighedstegnet i en ligning, sker det på betingelse af at begge sider giver et tal hvori den anvendte funktion er defineret.
Dette kan betyde, at når man har regnet sig frem til én eller flere værdier for den ubekendte, må man sikre sig at ingen af løsningerne giver anledning til at der undervejs i de beregninger man har foretaget, bliver taget f.eks. en logaritme til nul eller et negativt tal. Løsninger der støder på sådanne "problemer" undervejs, må kasseres - evt. med den konsekvens at ligningen ingen løsninger har, og derfor (blandt matematikere) omtales som en absurditet.

Logaritmer

Hvis man i en ligning har en side på formen tx, hvor t er et konstant, kendt tal og x er den ubekendte der skal isoleres, kan man tage logaritmen (enten naturlig, ti-tals-, eller logaritmer med ethvert andet grundtal) til begge sider, eftersom tx altid er større end nul (for positive værdier af t). Da man skal gøre det samme på begge sider af lighedstegnet, må man betinge sig at den anden side også er positiv for alle relevante løsninger for den ubekendte.

Potenser

For heltallige værdier af n er xn defineret for alle reelle værdier af x. Man kan uden begrænsninger opløfte begge sider til en ulige heltallig potens for at "pille" for eksempel et kubikrodstegn af den ubekendte. Man kan opløfte til lige potenser for at fjerne for eksempel kvadrattegn når det vides at ligningens sider har samme fortegn.

Rødder

Hvis man har en side i en ligning på formen xt, hvor t er en kendt konstant, kan man i visse situationer tage den t'te rod på begge sider af lighedstegnet:
  • Kubikrod (og alle andre ulige, positive, heltallige rødder) giver "almindelige", reelle tal for ethvert reelt tal x: Hvis t er et ulige, positivt heltal kan man altså uden tøven uddrage f.eks. kubikroden af begge sider af en linging.
  • For alt andet end ulige, positive, heltallige værdier for t er kun defineret for ikke-negative værdier af x, så man kan kun uddrage disse rødder på begge sider af lighedstegnet, på betingelse af at det man tager f.eks. kvadratroden af, ikke er et negativt tal.



Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.




Boligstedet.dk
Boligsite med dagligt opdaterede boligannoncer med lejeboliger i hele landet.
Lejebolig i Aarhus
Lejebolig i København
Lejebolig i Odense
Lejebolig i Aalborg
Rejseforsikringer
Husk at kontrollere din rejseforsikring inden du tager ud at rejse. Læs mere på: Rejseforsikring
Bilforsikringer
Sammenlign bilforsikringer og find information om forsikringer til din bil på: Bilforsikring


Denne artikel er fra Wikipedia. Denne hjemmeside tager ikke resourcer fra Wikipedias hardware. Netleksikon.dk støtter Wikipedia projektet finansielt. Indholdet er udgivet under GNU Free Documentation License. Kontakt Netleksikon, hvis ophavsretten er krænket.

Antal besøgende: