Netleksikon - Et online leksikon Netleksikon er ikke blevet opdateret siden 2005. Nogle artikler kan derfor indeholde informationer der ikke er aktuelle.
Forside | Om Netleksikon

Ikke-euklidisk geometri

Den engelske wikipedias artikel (og ligeledes den svenske, tilsyneladende baseret herpå) er lidet tilfredsstillende og indeholder direkte fejl. For at undgå at disse ting overføres til den danske wikipedia er det nedenfor forsøgt at starte en uafhængig tekst. Emnet hører ikke til de lettest forståelige, og der er i første omgang lagt vægt på at fremdrage nogle karakteristiske egenskaber ved ikke-euklidisk geometri - uden at nogen rigoristisk udledelse er tilsigtet.

Table of contents
1 Den euklidiske geometris problemer
2 Andre slags geometri

Den euklidiske geometris problemer

Den euklidiske geometri bygger på et antal postulater (kaldet axiomer) som ikke kan bevises; for eksempel begrebet "et punkt" og at der gennem to punkter kan trækkes én og kun en ret linje. Et af Euklids postulater har givet anledning til megen grublen: det såkaldte parallelpostulat som udsiger at der gennem et punkt uden for en ret linje kan trækkes én og kun en ret linje parallel med denne. Man har siden oldtiden atter og atter forsøgt at bevise dette postulat, men hver gang et "bevis" var fremsat, blev det påpeget at det var et cirkelbevis, dvs. at man i bevisførelsen på en eller anden måde var gået ud fra det som skulle bevises.

Andre slags geometri

Først i 1800-tallet dukkede den tanke op at man kunne skabe en geometri som ikke byggede på parallelpostulatet, med andre ord en geometri hvor der gennem et punkt uden for en ret linje kunne trækkes andre antal end én ret linje parallel med denne. Det har vist sig muligt at skabe to "nye", modsigelsesfri geometrier med sådanne egenskaber.

På en plan flade (1) kan man gennem et punkt (hvid prik) uden for en linje (gul streg) tegne én og kun én ret linje (blå streg) parallel med den første linje. På en kugleformet flade (2) kan man ikke tegne to ikke-sammenfaldende, rette linjer uden at de krydser hinanden, mens man på den hyperbolske flade (3) gennem samme punkt kan tegne uendeligt mange linjer parallelt med den første linje.

Riemannsk geometri: Ingen parallelle linjer

Mens Euklids postulater gælder for en plan overflade som f.eks. et almindeligt stykke papir, gælder den Riemannske geometri for en kugleformet overflade: Her kan man slet ikke tegne to parallelle linjer som ikke er sammenfaldende, og som ikke skærer hinanden.

En flyvemaskine der flyver "lige ud" i forhold til terrænet under det, vil efter 40.000 km have fuldført en jordomrejse langs en storcirkel; en cirkel med (godt og vel) Jordens radius, og med centrum sammenfaldende med Jordens (teoretiske) centrum. Sådan en storcirkel er den Riemannske geometris "svar" på rette linjer indenfor Euklids geometri.
To fly der flyver Jorden rundt som beskrevet ovenfor, vil enten følge sammenfaldende ruter, eller krydse hinandens ruter to gange for hver jordomrejse - de kan ikke flyve parallelt med hinanden, uden at mindst én af piloterne fortløbende må dreje en lille smule for at undgå at krydse det andet flys rute.

En anden karakteristisk egenskab for den Riemannske geometri er, at vinkelsummen i en trekant, tegnet på en kugleoverflade, vil være større end 180 grader. Dette kan illustreres ved hjælp af en globus: Vælg to punkter på ækvator med 90 længdegraders afstand; mellem disse punkter og en af polerne kan man nu tegne en trekant med tre rette vinkler, og en vinkelsum af 3 · 90° = 270°.

Hyperbolsk geometri: Mange parallelle linjer

Denne geometri kaldes også for Bolyai-Lobatjevskij-geometri, og dens regler gælder for den såkaldte hyperbolske plan: Her kan to rette linjer være enten skærende, parallelle eller ultraparallelle.

To parallelle linjer vil i den ene retning nærme sig asymptotisk til hinanden, dvs. at deres indbyrdes afstand går mod nul når man forlænger linjerne mod det uendelige. I den anden retning fjerner linjerne sig mere og mere fra hinanden.

Heraf følger at der - til forskel fra Euklids parallelpostulat - gælder at der gennem et punkt uden for en ret linje kan trækkes præcis to linjer parallel med denne, nemlig linjer som i hver sin retning er parallel med den givne.

Disse to linjer vil danne en "lille" vinkel med hinanden. Rette linjer som går gennem det givne punkt og ligger inden for den omtalte vinkel siges at være ultraparallelle med den givne linje.

Endvidere vil to linjer som er vinkelrette på samme tredje linje være ultraparallelle.

En anden vigtig egenskab ved den hyperbolske geometri er at summen af vinklerne i en trekant er mindre end 180 grader.



Denne artikel er fra Wikipedia. Læs artiklen hos Wikipedia.





Bolig.com
Boligsite med dagligt opdaterede boligannoncer med lejeboliger og andelsboliger.
Andelsbolig i København
Lejebolig i København
Selvsalg
Realkreditlån
Boligadvokat
Rejseforsikringer
Husk at kontrollere din rejseforsikring inden du tager ud at rejse. Læs mere på: Rejseforsikring
Bilforsikringer
Sammenlign bilforsikringer og find information om forsikringer til din bil på: Bilforsikring


Denne artikel er fra Wikipedia. Denne hjemmeside tager ikke resourcer fra Wikipedias hardware. Netleksikon.dk støtter Wikipedia projektet finansielt. Indholdet er udgivet under GNU Free Documentation License. Kontakt Netleksikon, hvis ophavsretten er krænket.

Antal besøgende: